Josue Said Rosas Lopez Grupo 2141

Temas del semestre
Lógica matemática
La lógica matemática es una parte de la lógica y la matemática , que consiste en el estudio matemático de la lógica, y en la aplicación de dicho estudio a otras áreas de la matemática y de las ciencias. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con las ciencias de la computación. 

Lógica proposicional
es una declaración que es verdadera o falsa pero no ambas,La lógica proposicional incluye además de variables interpretables como proposiciones simples signos para conectivas lógicas, por lo que dentro de este tipo de lógica puede analizarse la inferencia lógica de proposiciones a partir de proposiciones, pero sin tener en cuenta la estructura interna de las proposiciones más simples.

Transcripción de Proposiciones condicionales y equivalencia lógica.

Proposiciones condicionales y equivalencia lógica.
“Una proposición condicional, es aquella que está formada por dos proposiciones atómicas o moleculares, condicionadas una de la otra”. 
La cual se indica de la siguiente manera: p → q Se lee “Si p entonces q”.

A la proposición “p” le llamaremos antecedente y a la proposición “q” le llamaremos consecuente, en algunos otros contextos se le llama “Si condicional” en el cual el antecedente es la condición que debe cumplirse, y el consecuente es la consecuencia lógica que se deriva de la condición.
Ejemplos:

· Es herbívoro si se alimenta de plantas.

· El numero 4 es por puesto que es divisible entre 2.

· Se llama isósceles siempre que el triangulo tenga dos lados iguales.

· Cuando venga Raúl jugaremos ajedrez.

· De salir el sol iremos a la playa.

· La física relativista fue posible porque existió la mecánica clásica.

· Nuestra moneda solamente si su valor disminuye.

La implicación lógica tiene sus orígenes en la aplicación de la inteligencia social ante situaciones cotidianas, en nuestra capacidad de comportarnos de acuerdo a normas y reglas, estas reglas son del tipo:


· Bajo tal condición, debe ocurrir tal otra cosa.
· Si se cumplió tal requisito, entonces es aceptado que suceda tal cosa. 

Si nos fijamos bien, veremos que a Juan no le están dando a elegir como en los ejemplos anteriores, esta vez le están poniendo una condición que se reflejará en una consecuencia, si lo ejemplificamos en dos proposiciones atómicas quedaría de la siguiente manera:




p: Juan saca 10 en su examen.

q: Juan va al antro el fin de semana.

p → q que se lee “Si Juan saca 10 entonces Juan va al antro el fin de semana”.



Reflejándolo en una tabla de verdad nos queda:

p q p → q

V V V Juan saca 10 en su examen entonces va al antro, se cumple la consecuencia lógica.
V F F Juan saca 10 en su examen, pero no va al antro, NO se cumple la consecuencia lógica.
F V V Juan no saca 10 en su examen, pero va al antro, se cumple la consecuencia lógica.
F F V Juan no saca 10 en su examen y no va al antro, se cumple la consecuencia lógica. 

Proposición Bicondicional

“Una proposición bicondicional, es aquella que está formada por dos proposiciones atómicas o moleculares, condicionadas una de la otra, con la característica de que la condición debe cumplirse forzosamente”. 

Se indica la proposición bicondicional de la siguiente manera: p ↔ q Se lee “p si y solo si q”. 

Esto significa que “p” es verdadera si y solo si “q“ es también verdadera, o bien, “p” es falsa si y solo si “q” también lo es. 

También podemos encontrarlo en sus diferentes connotaciones: 
“Cuando y solo cuando…”, “si… entonces y solo entonces”, “si y solo si…”. 

Ejemplos: 

· Es fundamentalista si y solo si es Talibán. 
· Habrá cosecha cuando y solo cuando llueva. 
· Si apruebo el examen de admisión, entonces y solo entonces ingresará a la UCR 

Las proposiciones bicondicionales se caracterizan porque establecen dos condiciones, pero de sentido inverso, por ejemplo: 

· Habrá cosecha si y solo si las lluvias son suficientes. 
· Si las lluvias son suficientes entonces habrá cosecha. 

El antecedente y el consecuente son necesarios y suficientes uno de otro, pueden leerse en sentido inverso y la misma idea de la proposición prevalece. 


Analicémoslo mediante un ejemplo: 


Ante esta situación Juan tiene una condición que forzosamente debe cumplir para poder obtener el beneficio de la consecuencia dependiente, si lo ejemplificamos en dos proposiciones atómicas quedaría de la siguiente manera: 


p: Juan val al antro el fin de semana. 
q: Juan saca 10 en su examen semanal. 
p ↔ q que se lee “Juan va la antro el fin de semana si y solo si Juan saca 10 en su examen semanal”. 

Reflejándolo en una tabla de verdad nos queda: 



p q p ↔ q 
V V V Juan va al antro, sacó 10 en su examen, se cumple la condición necesaria. 
V F F Juan va al antro, no sacó 10 en su examen, NO se cumple la condición necesaria. 
F V F Juan no va al antro, sacó 10 en su examen, NO se cumple la consecuencia dependiente. 
F F V Juan no va al antro, no sacó 10 en su examen, no se cumple ninguna. 



Calcular los valores posibles para la proposición (p V q) → r mediante una tabla de verdad.

· Aplicando la formula 23 tenemos 8 columnas. 
· Es recomendable desglosar la proposición compuesta en proposiciones más simples aplicando la prioridad de los operadores, todo esto para facilitar el calculo de los valores de verdad. 
· Para saber la distribución de los valores verdaderos y falsos en la tabla simplemente se va dividiendo los valores por cada fila o columna, dependiendo del siguiente criterio: como en este caso son 3 proposiciones se harán tres divisiones: 
· Para la primera columna (p) 8/2=4 se distribuye en 4 verdaderos y 4 falsos. 
· Para la segunda fila (q) 8/4=2 se distribuyen 2 verdaderos y 2 falsos intercalándolos hasta finalizar las 8 filas. 
· Para la tercerea fila (r) 8/1=8 se distribuyen 1 verdadero y 1 falso intercalándose hasta terminar las 8 filas. 
· Esto es para las proposiciones atómicas, las demás serán en base a las reglas de los conectivos lógicos, la divisiones depende del número de proposiciones en cuestión. 

La tabla nos queda de la siguiente manera: 

Tablas de verdad 
Tautología 

“Se denomina tautología una proposición que es cierta para cualquier valor de verdad de sus componentes. Por tanto, la última columna de su tabla de verdad estará formada únicamente por v (verdadero)”. 




Ejemplo:
Contradicción 

“Se define como la negación de una tautología, luego es una proposición falsa cualesquiera sea el valor de 
verdad de sus componentes. La última columna de la tabla de verdad de una contradicción estará formada únicamente por F (falso)”. 

“Es el resultado de aplicar valores de verdad en cada expresión atómica que conforma la proposición compuesta; de esta forma, cualquier renglón de la tabla para una fórmula dada p se le denomina interpretación de p”. 

Una tabla de verdad es un algoritmo o procedimiento decisorio que a través de la aplicación mecánica de un conjunto finito de reglas, permite definir la validez o invalidez de las inferencias. 

· Se representa mediante filas y columnas, las columnas son las proposiciones atómicas o moleculares (wff) y las filas todas las interpretaciones posibles para cada wff. 
· La formula para determinar cuantas filas debe formar nuestra tabla es 2 n donde “2” representa los dos posibles valores que pueda tomar cada proposición (verdadero o falso) y “n” es el número de proposiciones en cuestión. 

Ejemplo: 

Tenemos 3 proposiciones: 
p: El país está en crisis económica. 
q: El gobierno está aumentado el precio de los productos. 
r: Los trabajadores tiene salarios insuficientes

Inducción matemática 

En matemáticas, la inducción es un razonamiento que permite demostrar proposiciones que dependen de una variable n que toma una infinidad de valores enteros. En términos simples, la inducción matemática consiste en el siguiente razonamiento:

El número entero a tiene la propiedad P. El hecho de que cualquier número entero n también tenga la propiedad  P implica que n+1 también la tiene. Entonces todos los números enteros a partir de a tienen la propiedad .

La demostración está basada en el axioma denominado principio de la inducción matemática

Demuestre por inducción matemática que: Si   n   es un entero positivo, entonces   n ( n   +   1 )   es divisible por  2 . a ) Sea   n    =    1 , entonces: n ( n   +   1 )    =    2     ( Verdadero ) . b ) Sea   n   =   k , entonces: k ( k   +   1 )   es divisible por   2     ( Hipótesis de inducción ) . c ) Sea   n   =   k   +   1 , entonces: ( k   +   1 ) ( k   +   2 )   es divisible por   2     ( Tesis ) . d ) Demostración: ( k   +   1 ) ( k   +   2 )   =    k ( k   +   1 )   +   2 ( k   +   1 ) k ( k   +   1 )   es divisible por   2    ( Por hipótesis de inducción ) . 2 ( k   +   1 )   es divisible por   2     ( Entero par ) . Por lo tanto   ( k   +   1 ) ( k   +   2 )   es divisible por   2 .

Conjunto Universal

Con el ánimo de evitar confusiones, cuando definimos un conjunto debemos especificar de donde se están tomando los elementos que lo conforman.  Esto significa que debe existir una base de la cual tomamos los elementos, esta base sobre el cual trabajamos es llamada conjunto universal.  Usaremos siempre la letra U para representar el conjunto universal.

Si por ejemplo quieres definir Bcomo el conjunto conformado por las vocales i y a, el conjunto universal podría ser el conjunto de las vocales.  En la figura de la izquierda se muestra como puedes usar los diagramas de Venn para representar la relación entre el conjunto B y su conjunto universal U.

Conjunto vacío

Consideremos la existencia de un conjunto que no tiene elementos, este es llamado conjunto vacío.

Para representar dicho conjunto usamos el reconocido símbolo del vacío, como se muestra en la imagen de la derecha.

También, haciendo uso de ladescripción por extensión, representamos el conjunto vacío por medio de los corchetes {}.    Como el conjunto vacío no tiene elementos, no podemos ubicar ningún elemento en el interior de los corchetes.

Conjuntos unitarios

El conjunto unitario se distingue por tener solo un elemento.  No importa qué tipo de elemento tenga el conjunto, un gato, un perro, un número, una letra, o cualquier otra cosa, si tiene un solo elemento es llamado conjunto unitario.